31 Ocak 1957 tarihinde Afyonkarahisar'da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini aynı kentte tamamladıktan sonra 1975'te Ankara İktisadi ve Ticari İlimler Akademisi'ne girdi. Orada Gazetecilik ve Halkla İlişkiler Meslek Yüksekokulu'nda bir yıl okudu. 1976'da Ankara Üniversitesi Hukuk Fakültesi'ni kazandı ve hukuk eğitimine başladı. 1982 yılında Ankara Üniversitesi Hukuk Fakültesini bitiren Akıncı, 1984 yılında Afyonkarahisar'da avukatlığa başladı.
Afyonkarahisar Barosu başkanının 2001 yılında istifası üzerine yapılan olağanüstü genel kurulda Afyonkarahisar Barosu Başkanlığına seçildi.
13 Ekim 2010 günü TBMM Genel Kurulunda, Anayasa Mahkemesi üyeliğine, baro başkanlarının avukatlar arasından gösterdiği adaylardan Celal Mümtaz Akıncı seçildi. Genel Kurulda yapılan ikinci tur oylamada, kullanılan 385 oyun 290'ını alan Afyonkarahisar Barosu Başkanı Celal Mümtaz Akıncı Anayasa Mahkemesinin yeni üyesi oldu.
Akıncı, evli ve dört çocuk babası.
